رسیدن به یک معادله دیفرانسیل تصادفی با تعریف مستقیم (نه فرمول ایتو)

فرض کنید فرایند تصادفی به صورت زیر داده شده است . معادله دیفرانسیل تصادفی آن چگونه خواهد بود ؟

این بار می خواهیم بدون استفاده از فرمول دیفرانسیل ایتو معادله دیفرانسیل SDE  را بدست اوریم .

\(x_t=2e^{B_t} \)

\(d(2e^{B_t})=2e^{B_{t+dt}}-2e^{B_t}=2e^{B_{t}}e^{B_{dt}}-2e^{B_t}2e^{B_t}(e^{dB_t}-1)\\\)

می دانیم که

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\\)
\(d(2e^{B_t})=2e^{B_t}\Bigl(1+dB_t+\tfrac12(dB_t)^2+O((dB_t)^3)-1\Bigr)\)

 صرفنظر از مرتبه های بالاتر \((dB_t)^2=dt\)حال  با توجه به

داریم

\(ed(2e^{B_t})=2e^{B_t}(dB_t+\tfrac12 dt)=e^{B_t}dt+2e^{B_t}dB_t\\dX_t=X_t(\tfrac12 dt+dB_t)\)

این معادله دیفرانسیلی است که نتیجه اش همان فرایند تصادفی مذکور خواهد بود

بهتر است از طریق فرمول دیفرانسیل ایتو نیز به همین نتیجه برسید