رسیدن به یک معادله دیفرانسیل تصادفی با تعریف مستقیم (نه فرمول ایتو)

فرض کنید فرایند تصادفی به صورت زیر داده شده است . معادله دیفرانسیل تصادفی آن چگونه خواهد بود ؟

این بار می خواهیم بدون استفاده از فرمول دیفرانسیل ایتو معادله دیفرانسیل SDE  را بدست اوریم .

\(x_t=2e^{B_t} \)

\(d(2e^{B_t})=2e^{B_{t+dt}}-2e^{B_t}=2e^{B_{t}}e^{B_{dt}}-2e^{B_t}2e^{B_t}(e^{dB_t}-1)\\\)

می دانیم که

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\\)
\(d(2e^{B_t})=2e^{B_t}\Bigl(1+dB_t+\tfrac12(dB_t)^2+O((dB_t)^3)-1\Bigr)\)

 صرفنظر از مرتبه های بالاتر \((dB_t)^2=dt\)حال  با توجه به

داریم

\(ed(2e^{B_t})=2e^{B_t}(dB_t+\tfrac12 dt)=e^{B_t}dt+2e^{B_t}dB_t\\dX_t=X_t(\tfrac12 dt+dB_t)\)

این معادله دیفرانسیلی است که نتیجه اش همان فرایند تصادفی مذکور خواهد بود

بهتر است از طریق فرمول دیفرانسیل ایتو نیز به همین نتیجه برسید

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *