دیفرانسیل ضرب در حالت کلی

معمولا وقتی از یک تابع دیفرانسیل می گیریم . مشتق آنرا در دیفرانسیل متغیر اصلی ضرب می کنیم . اما در واقع در اینجا از درجات بالاتر دلتا ها صرفنظر می کنیم .

به طور مثال

\(d(x^2)=2x.dx\)

و حالا درست تر یا کلی تر ببینیم .

\(d(x^2)=2x.dx+(dx)^2\)

سوال اینجاست که این رابطه چونه بدست می آید ؟

\(\Delta(xy)=\\(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy=\\x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y+xy-xy=\\x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta yx\\\large d(xy)=xdy+ydx+dxdy\\ x=y\\ \to d(xx)=d(x^2)=xdx+xdx+dx.dx=2xdx+(dx)^2\)

کسانی که فرمول ایتو را می بینند یا در مسایل مالی کار می کنند . با این جمله اخری سروکار خواهند داشت .بنابراین یاد بگیریم که چگونه با این موارد کار کنیم .به مثال زیر دقیت بفرمایید

 

\(d(x^3)=?\\=d(xx^2)=xd(x^2)+x^2dx+dx.d(x^2)=\\x(2x.dx+(dx)^2)+x^2.dx+dx.((2x.dx+(dx)^2)=\\2x^2.dx+x.(dx)^2+x^2.dx+2x(dx)^2+(dx)^3=\\3x^2.dx+3x(dx)^2+(dx)^3\)

حال راه دیگری را هم ببینیم

\(d(x^3)=?\\\Delta(x^3)=(x+\Delta x)^3-x^3=\\x^3.\Delta x+3x^2.\Delta x+(\Delta x)^3\\\Delta x \to 0 \\d(x^3)=3x^2.dx+3x(dx)^2+(dx)^3\)

باز هم مثالی در این مورد

\(d(x^4)=?\\\Delta(x^4)=(x+\Delta x)^4-x^4=\\4x^3.\Delta x+6x^.(\Delta x)^2+4.(\Delta x)^3+(\Delta x)^4\)

  به عنوان راه دوم  می توانید از \(d(x^4)=d(x^2.x^2),d(xy)=xdy+ydx+dxdy\) استفاده کنید . به این شکل عمل کنید تا کاری روان گردد.