روش های پایه در حل معادلات دیفرانسیل تصادفی SDE

stochastic differential equations numerical methods

روش هایی که برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی بکار می روند بسیار متنوع هستند . اما در این جا قصد دارم تا روش های پایه بر مبنای روش های اویلر و تیلور را بیان نماییم. فرض کنید معادله دیفرانسیل تصادفی SDE  ب هصورت زیر داده شده است .(ضمنا روشهای ارایه شده برای فرمول های ایتو هستند و نه استراتونوویچ)

\(\begin{cases}dx_t=f(t,x_t)dt+g(t,x_t)dW_t \\x(0)=x_0 \end{cases}\)

روش اویلر ماوریاما

Euler–Maruyama method (E.M.)

معادله تفاضلی جهت شبیه سازی معادله فوق به صورت زیر می نویسیم  و برای راحتی در نمایش قرار می دهیم .

\(\Delta t=h=\frac{T-T_0}{N}\\\Delta W_{t_{n}}=\Delta W_n\)

\(\\f(t_n,x_{t_n})=f_n\\g(t_n,x_{t_n})=g_n\\\\\Delta y_n=f_n.h+g_n.\Delta W_n\)

\(y_{n+1}-y_n=f_n.h+g_n.\Delta W_n\\\\y_{n+1}=y_n+f_n.h+g_n.\Delta W_n\)

این روش ساده ترین و در عین حال اصلی ترین روش در شبیه سازی یک معادله دیفرانسیل است ، که به آن روش اویلر ماوریاما گفته می شود .

مرتبه روش اویلر ماوریاما 0.5  می باشد .

روش اویلر هیون

Euler–heun method (E.H.)

order 0.5

\(\begin{cases}y_{n+1}=y_n+f_n.h+\frac12(g_n+g(\widehat{y_n}))\Delta W_n\\\widehat{y}=y_n+g_n\Delta W_n\\\Delta W_n=(W_{t+h}-W_t)\sim\sqrt{h}.N(0,1)\end{cases}\)

روش تیلور مرتبه 1

explicit order 1.0 strong taylor scheme

milstein method

این روش برای دستگاه یا معادلات خودگردان (اتونومس) استفاده می گردد .یعنی اگر داشته باشیم

\(\begin{cases}dx_t=f(x_t)dt+g(x_t)dW_t \\x(0)=x_0 \end{cases}\)

\(y_{n+1}=y_n+f_n.h+g_n.\Delta w_n+\frac12((\Delta w_n)^2-h)\)

derivative free milstein method

\(\begin{cases}y_{n+1}=y_n+f_n.h+g_n.\Delta w_n+\frac{1}{2\sqrt{h}}((\Delta w_n)^2-h)(g(\widehat{y_n})-g_n)\\\\\widehat{y_n}=y_n+f_n.h+g_n.\sqrt{h}\end{cases}\)

روش تیلور مرتبه 1.5

Explicit order 1.5 strong taylor scheme

با اضافه کردن جملاتی از بسط تیلور به قسمت تصادفی روش مایلشتاین مرتبه های بالاتری قابل دست یابی اند.یکی از شناخته شده ترین آن روش ها بوسیله

platen and burrage

 معرفی شده است .که مرتبه ان یک و نیم بوده و در این روش نیاز به معرفی یک متغیر تصادفی به شکل زیر هست

\(\Delta z_n=\int_{\tau_{n}}^{\tau_{n+1}} \int_{\tau_{s_2}}^{\tau_n} dw_{s_1}ds_2\)

که دارای توزیع نرمال با مشخصه های زیر است

\(E(z_n)=0\\\\Var(z_n)=\frac13h^3\\\\corr(\Delta w_n.\Delta z_n)=\frac12h^2\)

این پیاده سازی اجازه می دهد تا به مرتبه یک و نیم قوی از همگرایی برسیم . این بالاترین مرتبه ای است که دوش رانگه کوتا را بایک ساختار ساده می توان بیان نمود .

\(y_{n+1}=y_n+f_n.h+g_n.\Delta w_n+\frac12g_ng’_n((\Delta w_n)^2-h)+\\\\f’_n.g_n.\Delta z_n+\frac12
(f_n.f’_n+\frac12g^2_n.f”_n).h^2+(f_n.g’n+\frac12g^2_n.g”_n)(\Delta W_n.h-\Delta z_n)+
\\\\\frac12g_n(g_n.g”_n+(g’_n)^2)(\frac13(\Delta w_n)^2-h)\Delta w_n\)

خلاصه روش ها در یک نگاه

Iterative methods

Explicit order 0.5 strong taylor scheme Euler–Maruyama ,Euler–Heun

Explicit order 1.0 strong taylor scheme    Milstein ,Derivitative free milstein (runge kutta approach)

Explicit order 1.5 strong taylor scheme  stochastic runge kutta (SRK)