امید ریاضی (Expected value)

امید ریاضی: در نظریه احتمالات امید ریاضی، میانگین، مقدار مورد انتظار یا ارزش مورد انتظار یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل‌ضرب احتمال وقوع هر یک از حالات ممکن در مقدار آن حالت. در نتیجه میانگین برابر است با مقداری که بطور متوسط از یک فرایند تصادفی با بی‌نهایت تکرار انتظار می‌رود.

در حالت پیوسته \(\mathbb{E}[X]=\int{{{x}}{{f}_{X}}({{x}})}dx\)	در حالت گسسته \(\mathbb{E}[X]=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{p}_{X}}({{x}_{i}})}\)
a.s یعنی قریب به یقین[1] \(X\leq Y \rightarrow_{a.s.}\mathbb{E}[X]\leq\mathbb{E}[Y]\)	\(\mathbb{E}[X+c]=\mathbb{E}[X]+c\\c=const\)
\(\mathbb{E}[aX]=a\mathbb{E}[X]\)	\(\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]\)

[1]  Almost sure

اگر همۀ جواب های   \(X_i\)دارای احتمال یکسان باشند یعنی  \(p_1=p_2=\cdots=p_n\)  پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همۀ مقادیری است که می توان گرفت؛ بنابراین، این  مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید رویمیانگین اتفاق بیفتد.

اگر جواب های  \(X_i\) هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب های محتمل تر از بقیه را در نظر می گیرد) شود. ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می ماند: مقدار مورد انتظار \(X\)، مقداری است که انتظار می رود روی میانگین اتفاق بیفتد

مثال  فرض کنید X جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد.  تعداد خال های رویX وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می باشد. مقادیر ممکن برای ، 1، 2، 3، 4، 5و6 (که همگی دارای احتمال برابر \(\frac16\)  هستند) می باشند.

\(\mathbb{E}[X]=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3.5\)

در شکل زیر بدست امدن میانگین در تعداد هزار پرتاب نمایش داده شده است . ملاحظه می کنید که رقته رقته مقدار متوسط به عدد سه و نیم نزدیک می شود . محور افقی نمایانگر تعداد پرتاب ها می باشد و محور عمودی نشان دهنده میانگین اعداد روشده  می باشد .

مثال :یک کمپانی تولید لوازم الکترونیکی وسیله ای می سازد که از هر پنجاه عدد آن یک عدد خراب از کار در می اید .البته این معلوم نمی شود تا اینکه یک مشتری درخواست تعمیر بدهد . فرض کنید در ازای فروش هر کالا سه دلار سود خالص وجود دارد و در صورت تعمیر وسیله خراب هشتاد دلار ضرر نصیب کمپانی می شود .

انتظار سود کمپانی در دراز مدت چقدر است ؟ ( با فرض اینکه همین شرایط برقرار باشد)

\(\mathbb{E}[X]=\frac{49}{50}.(3)+\frac{1}{50}.(-80)=\frac{147-80}{50}=1.34\)

و این یعنی به طور معمول انتظار سود از هر کالا 1.34 دلار است .