فرمول دیفرانسیل حاصل ضرب ایتو (Ito product formula)

می خواهیم نشان دهیم

\(d(X_tY_t) = X_t\,dY_t + Y_t\,dX_t + dX_t\,dY_t\)

برای این منظور یک فرایند کمکی به صورت زیر را در نظر بگیرید

\(Z_t = X_t^2 = f(X_t)\)

باتوجه به فرمول دیفرانسیل ایتو داریم .

\(dZ_t = f'(X_t)dX_t + \frac{1}{2}f”(X_t)(dX_t)^2 = 2X_tdX_t + (dX_t)^2\)

حال  با توجه به

\(a.b=\frac12((a+b)^2-a^2-b^2)\)

می توانیم بنویسیم

\(d(X_tY_t) =\\ d\left(\frac{1}{2}((X_t + Y_t)^2 – X_t^2 – Y_t^2)\right) = \\\frac{1}{2}\left(d(X_t + Y_t)^2 – dX_t^2 – dY_t^2\right)\)

و داریم

\(d(X_t+Y_t)^2=2(X_t+Y_t)d(X_t+Y_t)+(d(X_t + Y_t))^2\\=2(X_tdX_t+X_tdY_t+Y_tdY_t +Y_tdX_t)+(dX_t)^2+2dX_tdY_t+(dY_t)^2)\\\\dX_t^2=2X_tdX_t+(dX_t)^2\\\\dY_t^2=2Y_tdY_t+(dY_t)^2\)

پس با نوشتن به فرم فوق ادادمه می دهیم و خواهیم داشت

\(d(X_tY_t) =\frac{1}{2}\left(2X_tdY_t + 2Y_tdX_t + 2dX_tdY_t\right) = dX_tdY_t + Y_tdX_t + dX_tdY_t\)