ریاضیات مالی چیست؟

ریاضیات مالی شاخه ای از ریاضیات کاربردی و مرتبط با بازارهای مالی است. موضوع آن رابطه نزدیکی با مبانی اقتصاد مالی دارد که با بسیاری از تئوری ها در ارتباط است. به طور کلی ریاضیات مالی، مدل های ریاضی و عددی ای را که اقتصاد مالی پیشنهاد داده، توسعه می دهد. برای مثال، درحالیکه یک اقتصاددان مالی بر روی دلایل ساختاری قیمت سهام یک شرکت مطالعه می کند، یک ریاضیدان مالی قیمت سهام را به عنوان داده می گیرد و سعی می کند با استفاده از حسابان تصادفی (stochastic calculus) ارزش واقعی مشتقات آن سهام را بدست آورد. رياضيات مالي بر حسب كاربرد با رشته‌هايي نظير مهندسي مالي ومحاسبات مالي هم‌پوشاني مي‌كند. دو رشته‌ي اخير بر كاربرد تمركز بيشتري دارند در حالي‌كه رياضيات مالي به مدل‌سازي و حل معادلات ديفرانسيل با مشتق جزئي مي‌پردازد.

دوره‌ي تحصيلات دانش‌گاهي مشتمل بر واحدهايي هم‌چون تحليل ريسك و روي‌دادهاي بعيد، نرخ بهره، فرايند معاملات ارزي خارجي، عوارض تورم، گزينش حقيقي، تقسيم انرژي، كنترل و بهينه سازي تصادفي،وساير مباحث رياضي مربوط به مدل‌سازي مسائل مالي مي‌باشد. باتوجه به نياز فزاينده‌ي جوامع به افراد كارآزموده وكلان‌نگر در حوزه‌هاي اقتصادي ،هم اكنون دانش‌گاه‌هاي متعددي در سراسر جهان در اين رشته دانش‌جو مي‌پذيرند.

بازار كار مربوط به رشته

بانك‌هاي سرمايه‌گذاري،بانك‌هاي تجاري،شركت‌هاي بيمه،شركت‌هاي خزانه‌داري و… از دستاورد‌هاي علمي اين رشته بيش‌ترين استفاده را مي‌برند.

در اين رشته دو روي‌كرد اساسي وجود دارد: (1)معادلات ديفرانسيل جزئي  و تصادفی (2)احتمال و فرايندهاي تصادفي

اين دو روي‌كرد مستقل، هردو، مجموعه‌اي از تكنيك‌هاي رياضي هستند كه كاربرد‌هاي متعددي در سرمايه‌گذاري مي‌يابند: ارزش‌گذاري دارايي، مديريت ريسك ومقابله با ريسك، بهينه سازي سهام، مديريت سرمايه‌گذاري در موقعيت‌هاي پيچيده‌ي اقتصادي و….ازجمله‌ي اين كاربردها هستند.

معادلات ديفرانسيل جزئي

درمدلسازی بازارهای مشتقات به مدل هایی می رسیم که بر نظریه معادلات دیفرانسیل جزیی استوار هستند. معادلات دیفرانسیل سهموی بیشترین کاربرد در این زمینه را دارند. علاوه بر این در مدلسازی نوین به معادلات دیفرانسیلی-انتگرالی و معادلات دیفرانسیل غیر خطی مواجه می شویم. با این توضیح روشهای عددی از جمله روشهای تفاضلات متناهی، روشهای کنترل حجمی، روشهای عناصر متناهی و این قبیل روشها کاربرد فراوانی پیدا می کنند، زیرا اکثر این مدل ها جواب تحلیلی ندارند.

معادلات دیفرانسیل تصادفی

بازار های سهام معمولا با معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی مدل سازی می شوند. بحث در مورد معادلات دیفرانسیل تصادفی نیاز به پیش زمینه قوی فرایند های تصادفی دارد. در مدل سازی نوین با معادلات دیفرانسیل تصادفی مو اجه می شویم که در آنها جمله پرش یا رژیم سویچینگ یا تغییرپذیری تصادفی مورد نظر است. در این گونه مسایل نیز جواب تحلیلی یا فرم بسته جواب قابل محاسبه نیست و تنها روشهای عددی از جمله روش مونت کارلو روشهای اویلر، رونگه کوته و غیره کاربرد دارند.

خواننده باید توجه کند که مسایل متفاوتی در این رشته مورد مطالعه قرار می گیرند که در زیر برخی از آنها را بیان می کنیم:

برخی مسایل مورد پژوهش در رشته ریاضیات مالی

مدل کردن اختیارات به مساله مقدار اولیه و مرزی(معادلات دیفرانسیل جزیی)
مدل کردن آتی ها به مساله مقدار اولیه و مرزی(معادلات دیفرانسیل جزیی)
تخمین تغییر پذیری با استفاده از استراتژی مسایل معکوس
تخمین جابحایی(دریفت) با استفاده از استراتژی مسایل معکوس
استراتژی منظم سازی
مدلسازی سبد مالی(معادلات دیفرانسیل تصادفی)
مدلسازی ریسک (معادلات دیفرانسیل تصادفی و جزیی)
نظریه کنترل بهینه(معادلات دیفرانسیل تصادفی)
نظریه کنترل بهینه تصادفی(معادلات دیفرانسیل تصادفی)
بهینه سازی سبد مالی(معادلات دیفرانسیل تصادفی)
روشهای حل معادلات دیفرانسیل جزیی-تحلیلی و عددی
روشهای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی-تحلیلی و عددی
روشهای حل معادلات دیفرانسیل معمولی-تحلیلی و عددی
روشهای حل مساله کنترل بهینه(تصادفی-تعینی)-تحلیلی و عددی
ریسک بازار، مدلسازی و روشهای حل

ابزار های ریاضی مورد استفاده:

منابع:

https://fa.wikipedia.org/wiki/مالیه_ریاضیاتی

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_finance

http://a-neisy.ir/index.php/2012-04-22-19-06-18/121-2013-11-25-16-07-33

http://roshd.ir/Default.aspx?tabid=442&EntryID=1035&SSOReturnPage=Check&Rand=0

https://www.math.nyu.edu/financial_mathematics/content/02_financial/02.html