مثال معروف انتگرال ایتو

\(\large{\int_{\,0}^{\,t}{{B_s}}\;d{B_s}=\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}t}\)

این مثال بسیار معروفی در حوزه انتگرال گیری ایتو می باشد که البته نشان دهنده وجه تمایز بین حسابان معمولی و جسابان تصادفی نیز هست .

فرض کنید حرکت براونی با شروع اولیه از صفر داریم .

\(\large{{\phi_n}(s,\omega)=\sum\limits_j{{B_j}(\omega)\cdot{\chi_{[{t_j}\,,\,{t_{j + 1}})}}(s)}}\)

به جهت اثبات تابع فی را به صورت فوق تعریف می کنیم .

\(\large{{B_j}={B_{{t_j}}}},B_0=0\)

با استفاده از تعریف انتگرال تصادفی می توانیم بنویسیم

\(\large{\begin{array}{l}
E\left[{\int_{\,0}^{\,t}{{{\left({{\phi_n}-{B_s}}\right)}^2}} \;ds}\right]=E\left[{\sum\limits_j{\int_{\,{t_j}}^{\,{t_{j+1}}} {{{\left({{B_j}-{B_s}}\right)}^2}}\;ds}}\right]\\
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\sum\limits_j{\int_{\,{t_j}}^{\,{t_{j+1}}}{(s-{t_j})}\;ds}=\sum\limits_j{\frac{1}{2}{{({t_{j+1}}-{t_j})}^2}}\;\to\;0\quad\quad\Delta{t_j}\;\to \;0\end{array}}\)

\(\large{\int_{\,0}^{\,t}{{B_s}}d{B_s}=\mathop{\lim}\limits_{\Delta{t_j}\;\to\;0}\int_{\,0}^{\,t}{{\phi _n}}d{B_s}=\mathop{\lim}\limits_{\Delta{t_j}\;\to\;0} \sum\limits_j{{B_j}\Delta{B_j}}}\)

حال می توانیم بنویسیم

\(\Delta\left({B_j^2}\right)=B_{j+1}^2-B_j^2\\B_{j+1}^2-B_j^2+B_j^2-B_j^2+2B_{j+1}B_j-2B_{j+1}B_j\\={\left({{B_{j+1}}-{B_j}}\right)^2}+2{B_j}\left({{B_{j+1}}-{B_j}}\right)=\\{\left({\Delta{B_j}}\right)^2}+2{B_j}\Delta{B_j}\)

با توجه به قاعده ادغام داریم

\(B_t^2-B_o^2=\\\)
\((B_{t}^2-B_{t-1}^2)+(B_{t-1}^2-B_{t-2}^2)+(B_{t-2}^2-B_{t-3}^2)+\cdots+(B_{1}^2-B_{0}^2)\\\)

\(=\sum\limits_j{\Delta\left({B_j^2}\right)}=\\\)\(\sum\limits_j({{{\left({\Delta{B_j}}\right)}^2}}+2{{B_j}\Delta{B_j}})=\)\(\sum\limits_j{{{\left({\Delta{B_j}}\right)}^2}}+2\sum\limits_j{{B_j}\Delta{B_j}}\\\)

یا به عبارتی

\(\sum\limits_j{{B_j}\Delta{B_j}}=\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}\sum\limits_j{{{\left({\Delta{B_j}}\right)}^2}}\)

وقتی افراز زمانی را به سمت صفر میل دهیم  خواهیم داشت

\(\Delta{t_j}\;\to\;0\Rightarrow\sum\limits_j{{{\left({\Delta{B_j}}\right)}^2}}\;\to\;t\)