واریانس یک انتگرال تصادفی (مثال)

می خواهیم با توجه به فرایند تصادفی ، واریانس انتگرال های  تصادفی زیر را بیابیم

این یک مثال کاربردی است که چگونگی محاسبه واریانس  یک انتگرال تصادفی را نشان می دهد. (کپی برداری باذکر منبع بلا مانع است.)

\(var(\int_{1}^2(W_t)^2\mathrm{d}W_t)=?\\\\var(\int_{0}^T(W_t)^2\mathrm{d}t)=?\)

قرار دهیم

\(X=\int\limits_1^2W_t^2dW_t\)

 می دانیم میانگین یک انتگرال تصادفی صفر است

\(E(X)=(\int\limits_1^2W_t^2dW_t)=0\)

بنابراین محاسبه واریانس به عبارت زیر محدود می شود

\(var(X)=E(X^2)-E(X)^2=E(X^2)\)

پس داریم

\(var(X)=E(X^2)=E\left((\int\limits_1^2 W_t^2dW_t)^2 \right)\\=\int_{1}^{2} E(W_t^4)dt=\int_1^23t^2dt=2^3-1^3=7\)

حالا برای دومی قرار دهید

\(Y=\int\limits_0^tW_s^2ds\)

از جدول ضرب ایتو می دانیم

\(E(W_s^2)=s\)

پس

\(E(Y^2)=\int_0^t\int_0^tE(W_s^2W_u^2)dsdu=2\int_0^t\int_0^sE(W_s^2W_u^2)duds\\=2\int_0^t\int_0^sE(W_u^2(W_u +W_{s-u})^2)duds=2\int_0^t\int_0^s\left(E(W_u^4) + \mathbb{E}(W_u^2) \mathbb{E}(W_{s-u}^2) \right)duds\\=2\int_0^t \int_0^s\left(3u^2+u(s-u)\right)duds=2 \int_0^t\left(s^3+\frac{s^3}{6}\right)du =\frac{7}{12}t^4\)

وبااین ترتیب داریم

\(var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=\frac{7}{12}t^4-\left(\frac{t^2}{2} \right)^2=\frac{t^4}{3}\)